Question

14．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE=DF，AF、DE相交于点O，BO=BA，则OC的值为$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由△ADF≌△DCE，推出∠AOD=90°，取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．则KB=AK=KE=OK，推出A、B、E、O四点共圆，推出∠BAO=∠BOA=∠AEB=∠DEC，由△ABE≌△DCE，推出BE=EC=1，推出DF=EC=FC=1，推出DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，由△DFO∽△DEC，可得$\frac{OD}{DC}$=$\frac{OF}{EC}$=$\frac{DF}{DE}$，即$\frac{OD}{2}$=$\frac{OF}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，推出OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由$\frac{1}{2}$•DO•OF=$\frac{1}{2}$•DF•OM，推出OM=$\frac{2}{5}$，推出MF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，推出CM=1+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，在Rt△OMC中，根据OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$计算即可．

解答 解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADF=∠ECD=∠ABC=90°，
∵DF=CE，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠DAF=∠EDC，
∵∠EDC+∠ADO=90°，
∴∠DAF+∠ADO=90°，
∴∠AOD=90°，
取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．
则KB=AK=KE=OK，
∴A、B、E、O四点共圆，
∵BA=BO，
∴∠BAO=∠BOA=∠AEB=∠DEC，
∵AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=EC=1，
∴DF=EC=FC=1，
∴DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△DFO∽△DEC，
∴$\frac{OD}{DC}$=$\frac{OF}{EC}$=$\frac{DF}{DE}$，
∴$\frac{OD}{2}$=$\frac{OF}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•DO•OF=$\frac{1}{2}$•DF•OM，
∴OM=$\frac{2}{5}$，
∴MF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴CM=1+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△OMC中，OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
故答案为$\frac{2}{5}\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．