Question

19．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA与⊙O相交于点P，点B为⊙O上一点，BP的延长线交直线l于点C，且 AB=AC．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，求sin∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB与⊙O相切，只要证明∠OBA=90°即可．
（2）由tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{OB}{AB}$，设OB=3k，AB=4k，则OA=5k，OP=3k，AP=2k，根据勾股定理求出PC，根据sin∠ABC=sin∠ACB=$\frac{AP}{PC}$，计算即可．

解答 证明：（1）连接OB
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP=∠APC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵OA⊥l
∴∠ACB+∠APC=90°
∴∠ABC+∠OBP=90°
即OB⊥AB
∴AB与⊙O相切
（2）∵tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{OB}{AB}$，
设OB=3k，AB=4k，则OA=5k，OP=3k，AP=2k
∵AC=AB=4k，
∴PC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{（4k）^{2}+（2k）^{2}}$=2$\sqrt{5}$k，
∴sin∠ABC=sin∠ACB=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数，解决问题，属于中考常考题型．