Question

13．已知实数x、y满足x+y=7，xy=10且x＞y，求x-y的值
解：∵x+y=7   xy=10∴（x+y）²=x²+2xy+y²=49
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=49-2×10=29
∴（x-y）²=x²-2xy+y²=29-2×10=9 
又∵x＞y
∴x-y=$\sqrt{9}$=3
仿照上面的解题过程  请解答下列问题
（1）已知实数a、b满足a+b=3$\sqrt{5}$，ab=10且a＞b，求a-b的值；
（2）已知a、b满足$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$且$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$，求$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式求出a²+b²的值，再求出（a-b）²的值，即可得出答案；
（2）根据完全平方公式求出a+$\frac{1}{a}$的值，再求出（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²的值，即可得出答案．

解答 解：（1）∵a+b=3$\sqrt{5}$，ab=10，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=45．
∴a²+b²=25，
∴（a-b）²=a²-2ab+b²=25-2×10=5．
∵a＞b，
∴a-b=$\sqrt{5}$；

（2）∵$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=a+2+$\frac{1}{a}$=$\frac{9}{2}$，
∴a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，
∴（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=a-2+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
∵$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了完全平方公式的应用，能正确利用公式进行变形是解此题的关键，注意：完全平方公式有：①a²-2ab+b²=（a-b）²，②a²-2ab+b²=（a-b）²．