Question

8．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+c与y轴交于点A（0，-$\sqrt{3}$），与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线l∥AB且过点D．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论；
（3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF=60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BA与DA，根据正切函数的定义，可得∠ABO，根据等边三角形的判定，可得答案；
（3）根据平行线的性质，可得∠AEG=∠AGE=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得BE=EF，根据等边三角形的判定，可得△BEF是等边三角形，根据等边三角形的面积，根据垂线段最短，可得BE的长，可得答案．

解答 解：（1）将A（0，-$\sqrt{3}$）代入抛物线解析式，得c=-$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
当y=0时，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=0化简，得
x²-2x-3=0，
∵（x+1）（x-3）=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
点B（-1，0），点C（3，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）△ABD是等边三角形，
∵点B（-1，0），点D（1，0），
∴OB=OD=1，
在△BOA和△DOA中，$\left\{\begin{array}{l}{BO=DO}\\{∠BOA=∠DOA=90°}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△BOA≌△DOA，
∴BA=DA．
tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∴△ABD是等边三角形；

（3）如图，
过点E作EG∥x轴，交AB于点G，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠AEG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=AG，∴DE=BG．
∵AB∥l，
∴∠EDF=∠BGE=120°，
∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，
∴∠GBE=∠DEF，
在△BEG和△EFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠GBE=∠DEF}\\{BG=DE}\\{∠BGE=∠EDF}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△EFD，
∴BE=EF，
∵∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S_△BEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²，当BE⊥AD时，BE的长度最小，△BEF的面积最小，
此时BE=AB•sin60°=$\sqrt{3}$，
S_△BEF最小=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出BA与DA的关系，又利用了等边三角形的判定；解（3）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出BE=EF，又利用了垂线段最短得出BE的长．