Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2$\sqrt{3}$cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿AE运动到点E，点Q从点A沿AB运动到点B时，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm²），则y与t的函数关系式是y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²（0＜t≤4）．

Answer 1

分析 作PH⊥AQ于H，如图，AP=AQ=t，先根据勾股定理计算出AE=4，再证明Rt△ADE∽Rt△PHA，利用相似比计算出PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，然后根据三角形的面积公式得到y与t的关系．

解答 解：作PH⊥AQ于H，如图，AP=AQ=t，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，
∴E点为CD的中点，
∴DE=2，
在Rt△ADE中，∵AD=2$\sqrt{3}$，DE=2，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=4，
∵AB∥DC，
∴∠ADE=∠PAH，
∴Rt△ADE∽Rt△PHA，
∴$\frac{AE}{PA}$=$\frac{AD}{PH}$，即$\frac{4}{t}$=$\frac{2\sqrt{3}}{PH}$，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴y=$\frac{1}{2}$PH•AQ=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t•t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²（0＜t≤4）．
故答案为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²（0＜t≤4）．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质：利用三角形面积公式合理构造直角三角形，利用相似三角形的性质求出三角形的高．