Question

9．如图，矩形OABC中，OA=3，OC=5，OA，OC分别在x轴，y轴上，D是边CB上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）若△BDE的面积为$\frac{10}{3}$，求k的值；
（2）设直线DE的解析式为y=mx+n，求证：m为定值；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先用k表示出点D，E的坐标，进而表示出BD，BE，用三角形BDE的面积建立方程求解即可；
（2）将点D，E的坐标代入直线y=mx+n中，即可求出m的值；
（3）根据对称性先求出点B关于DE的对称点B'的坐标，进而得出BB'的中点坐标代入直线DE的解析式中即可求出n即可．

解答 解：（1）由题意知，B（3，5），D（$\frac{k}{5}$，5），E（3，$\frac{k}{3}$），
∴BD=3-$\frac{k}{5}$，BE=5-$\frac{k}{3}$，
∵S_△BDE=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$（3-$\frac{k}{5}$）（5-$\frac{k}{3}$）=$\frac{10}{3}$，
∴k=25或k=5，
即：k=25或k=5；
（2）由（1）知，D（$\frac{k}{5}$，5），E（3，$\frac{k}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{5}m+n=5}\\{3m+n=\frac{k}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{k-15}{5}m=\frac{15-k}{3}$，
∵k≠15，
∴m=-$\frac{5}{3}$，
即：m是定值；

（3）存在，
理由：如图，由（2）知，m是定值-$\frac{5}{3}$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+n，
设点B关于DE的对称点为B'，
∴直线BB'的解析式为y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{16}{5}$，
∴B'（0，$\frac{16}{5}$），
∴BB'的中点M坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{41}{10}$），而B'，B关于直线DE对称，
∴点M在直线DE上，
∴$\frac{41}{10}=-\frac{5}{3}×\frac{3}{2}$+n，
∴n=$\frac{33}{5}$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{33}{5}$，
当y=5时，x=$\frac{24}{25}$，
∴D（$\frac{24}{25}$，5）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，对称性，解（1）的关键是建立方程求解，解（2）的关键是解不定方程，解（3）的关键是利用对称性求出点B的坐标，是一道中等难度的题目．