Question

如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．
（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；
（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²．
①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=93

3

时x的值；
②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

Answer 1

分析：（1）已知AB=CD=x，则易求BC的值．
（2）①第二小题需要辅助线的帮助，作BE、CF分别垂直AD，易求出各边以及梯形高的值．利用梯形面积公式可求出S与x的关系．②求出该函数的对称轴后画图可知x=16时，函数有最大值．

解答：解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．（3分）

（2）①如图，
过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=

1

2

x，BE=

3

2

x，
同理DF=

1

2

x，CF=

3

2

x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=

1

2

x+40-2x+

1

2

x=40-x（4分）
∴S=

1

2

（40-2x+40-x）•

3

2

x=

3

4

x（80-3x）（0＜x＜20）（6分）
当S=93

3

时，-

3

4

3

x2+20

3

x=93

3

，
解得：x₁=6，x₂=20

2

3

（舍去）．
∴x=6（8分）
②由题意，得40-2x+

1

2

x×2≤24，解得x≥16，
结合①得16≤x＜20（9分）
由①，S=-

3

4

3

x2+20

3

x=-

3

4

3

(x-

40

3

)2+

400

3

3

∵a=-

3 3

4

＜0
∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．
其对称轴为x=

40

3

，
∵16＞

40

3

，由左图可知，
当16≤x＜20时，S随x的增大而减小（11分）
∴当x=16时，S取得最大值，（12分）
此时S最大值=-

3

4

3

×162+20

3

×16=128

3

m²．（13分）

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．