Question

如图直角坐标系中，已知A（-4，0），B（0，3），点M在线段AB上．
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设线段OB的中点为D，证明MD=2，且MD⊥OB即可；
（2）先利用待定系数法求得直线AB的解析式：y=x+3，根据切线的性质得到点M到x轴、y轴的距离都相等，设M（a，-a）（-4＜a＜0）．代入y=x+3，即可求得a的值，即得到M的坐标．
解答：解：（1）直线OB与⊙M相切．
理由：设线段OB的中点为D，连接MD．
因为点M是线段AB的中点，
所以MD∥AO，MD=2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．
又因为点D在直线OB上，
所以直线OB与⊙M相切；

（2）解法一：可求得过点A、B的
一次函数关系式是y=x+3，
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．
设M（a，-a）（-4＜a＜0）．
把x=a，y=-a代入y=x+3，
得-a=a+3，得a=-．
所以点M的坐标为（-，）．
解法二：连接ME、MF．
设ME=x（x＞0），则OE=MF=x，
因为一次函数关系式是y=x+3，
所以AE=x，所以AO=x．
因为AO=4，所以，x=4．
解得x=．
所以点M的坐标为（-，）．
点评：本题考查了利用待定系数法求直线的解析式的方法以及一次函数的性质．也考查了圆的切线的判定与性质．