(10分)已知:如图所示,抛物线y= -x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A(1,0),B(3,0)。
(1)求抛物线的解析式;
所有点P的坐标;
(3)设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小。若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
【解析】
(1)依题意有,
∴b=4,c=﹣3,
∴抛物线解析式为;
(2)如图,设P(x,y)
∵AB=2,
∴×2×|y|=1
∴y=±1
当y=1时,解得,
当y=﹣1时,解得,
∴满足条件的点P有三个坐标分别为(2,1),(,﹣1),(,﹣1);
(3)存在.
过点C作抛物线的对称轴的对称点C',如图
∵点C(0,﹣3),对称轴为x=2,
∴C′(4,﹣3),
设直线AC′的解析式为y=kx+b,
则,
∴k=﹣1,b=1,
∴直线AC′的解析式为y=﹣x+1,
直线AC′与对称轴x=2的交点为(2,﹣1),即M(2,﹣1),
∴存在点M(2,﹣1),可使△AMC的周长最小.
【解析】
试题分析:(1)将A(1,0),B(3,0)代入抛物线中,列方程组可求抛物线解析式;
(2)由于AB=3﹣1=2,而,故△PAB中,AB边上的高为1,即P点纵坐标为±1,代入抛物线解析式可求P点横坐标;
(3)过点C作抛物线的对称轴的对称点C',根据抛物线的对称性求得C′(4,﹣3),连接直线AC′,求直线AC′的解析式,直线AC′与对称轴的交点即为所求点M
考点:二次函数综合题
科目:初中数学 来源:2016届浙江省温州泰顺县五校七年级上学期期中联考数学试卷(解析版) 题型:选择题
小惠测量一根木棒的长度,由四舍五入得到的近似数为2.8米,则这根木棒的实际长度的范围是( )
A、大于2米,小于3米
B、大于2.7米,小于2.9米
C、大于2.75米,小于2.84米
D、大于或等于2.75米,小于2.85米
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年浙江省温州市九年级上学期期中测试数学试卷(解析版) 题型:选择题
将二次函数向左平移3个单位后得到的函数图像解析式为( )
A、 B、 C、 D、
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(6分)已知:如图,在□ABCD中,点F在AB的延长线上,且BF=AB,连接FD,交BC于点E.
(1)证明:△DCE≌△FBE;
(2)若EC=3,求AD的长.
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年四川省广安市岳池县白庙责任区九年级12月联考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(8分)如图所示的网格图中,每小格都是边长为1的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上,在建立直角坐标系后,点C的坐标(-1,2)。
(1)画出△ABC绕点D(0,5)逆时针旋转90°后的△A1B1C1;并标出△A1B1C1相应各点的坐标。(5分)
(2)求点A旋转到A1所经过的路线长。(结果保留π)(3分)
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年湖南省长沙麓山国际等四校九年级上学期第三次训练数学试卷(解析版) 题型:选择题
在半径为2的圆中,弦AB的长为2,则的长等于( )
A. B. C. D.
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