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如图,为线段上一动点,分别过点,连接.已知,设

(1)用含的代数式表示的长;
(2)请问点满足什么条件时,的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.
(1);(2)三点共线时;(3)13

试题分析:(1)由于△ABC和△CDE都是直角三角形,故可由勾股定理表示;
(2)若点C不在AE的连线上,根据三角形中任意两边之和大于第三边知,AC+CE>AE,故当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;
(3)由(1)(2)的结果可作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,则AE的长即为代数式的最小值,然后构造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值.
(1)
(2)当三点共线时,的值最小.
(3)如下图所示,作,过点,过点,使.连结于点的长即为代数式的最小值.

过点的延长线于点,得矩形
12.
所以,即的最小值为13.
点评:本题利用了数形结合的思想,求形如的式子的最小值,可通过构造直角三角形,利用勾股定理求解.
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