Question

如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，可构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义即可求出∠P的值；
（2）利用△POC∽△OBD，可求出CD，BD的长，再利用切割线定理即可解答．

解答：解：（1）连接OC
∵OC⊥PD
∴OC=OA=1
在Rt△OPC中
OC=1，OP=2
∴sin∠P=

OC

OP

=

1

2

∴∠P=30°；

（2）在Rt△POC中
OP=2，OC=1
∴PC=

OP2-OC2

=

22-12

=

3

∵OC⊥PD，BD⊥PC
∴△POC∽△PBD
即

PC

PD

=

OC

BD

=

OP

PB

∴

3

PD

=

1

BD

=

2

3

解得PD=

3 3

2

，BD=

3

2

∴CD=PD-PC=

3 3

2

-

3

=

3

2

∵CD²=DE•BD
∴（

3

2

）²=DE•

3

2

解得DE=

1

2

．

点评：本题考查的是直角三角形的性质，锐角三角函数的定义及切割线定理．