Question

3．如图，△ABC中，AC边垂直平分线分别交AB、AC边于D、O两点，作CE∥AB交DO于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形．
（2）若∠ACB=90°，△BDC的面积为18，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出AD=CD，AE=CE，OA=OC，由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，得出AD=CD=AE=CE，即可得出结论．
（2）证明OD是△ABC的中位线，得出D为AB的中点，得出△ACD的面积=△BDC的面积=18，即可得出四边形ADCE的面积．

解答 （1）证明：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠OAD=∠OCE，
在△AOD和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOD=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，
∴AD=CD=AE=CE，
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：∵∠ACB=90°，DE垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴D为AB的中点，
∴△ACD的面积=△BDC的面积=18，
∴四边形ADCE的面积=2×18=36．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度适中．