Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点B（-3，0），C（1，0），与y轴相交于点4（0，-3），O为坐标原点．点M为y轴上的动点，当点M运动到使∠OMC+∠OAC=∠ABC时，AM的长度为________．

Answer 1

1或5
分析：在OA上截取ON=OC=1，分类讨论，①M在y轴上半轴上，②M在y轴下半轴上，利用外角的知识及∠OMC+∠OAC=∠ABC，证明△CAN∽△M₁AC，△CNA∽△M₂AC，继而可分别求出AM的长度．
解答：
连接AB，AC，
∵OB=OA=3，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
在OA上截取ON=OC=1，则∠ONC=∠OCN=45°，
在Rt△OAC中，AC==，在Rt△ONC中，NC==，
①当M在y轴上半轴上时，∠ONC=∠OAC+∠NAC=45°，
∵∠ABC=∠OMC+∠OAC=45°，
∴∠OMC=∠NAC，
又∵∠CAN=∠M₁AC（同一个角），
∴△CAN∽△M₁AC，
∴=，即=，
解得：AM₁=5．
②当M在y轴下半轴上时，∠ONC=∠OM₂C+∠NCM₂=45°，
∵∠ABC=∠OM₂C+∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠NCM₂，
又∵∠CNA=∠M₂NC（同一个角），
∴△CNA∽△M₂AC，
∴=，即=，
解得：NM₂=1，
故AM₂=OA-ON-NM₂=1．
综上可得AM的长度为1或5．
故答案为：1或5．
点评：本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是分类讨论点M的位置，利用相似三角形的性质：对应边成比例求出有关线段的长度，有一定难度．