Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中的两个图形M与N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“和睦距离”，记作d（M，N）．若图形M，N有公共点，则d（M，N）＝0．

（1）如图，A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，则d（C，⊙C）＝　 　，d（O，⊙C）＝　 　；

（2）已知，如图，△ABC的一边AC在x轴上，B在y轴上，且AC＝8，AB＝7，BC＝5．

①D是△ABC内一点，若AC、BC分别切⊙D于E、F，且d（C，D）＝2d（D，AB），判断AB与⊙D的位置关系，并求出D点的坐标；

②若以r为半径，①中的D为圆心的⊙D，有d（B，⊙D）＞1，d（C，⊙D）＜2，直接写出r的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）2，3；（2）①AB是⊙O的切线，②

【解析】

（1）由图形M、M间的“和睦距离”的定义即可求解;

（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H. 设OC＝x.先证明∠CBO＝30°，再证明DH=DE即可解决问题

②先求出点D的坐标，列出不等式组求解即可.

解：（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，

∴d（C，⊙C）＝2，d（O，⊙C）＝OC﹣2＝﹣2＝3，

故答案为2，3．

（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．

∵OB2＝BC2﹣OC2＝AB2﹣AO2，

∴52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，

解得x＝，

∴BC＝2OC，

∴∠CBO＝30°，∠BCO＝60°，

∵CE，CF是⊙O的切线，

∴CD平分∠BCA，

∴∠DCE＝∠DCB＝30°，

∴DC＝2DE，

∵d（C，D）＝2d（D，AB），

∴CD＝2DH，

∴DH＝DE，

∴AB是⊙O的切线．

②由①可知OB＝OC＝，设DF＝DE＝DH＝x，

∵S△ABC＝ACOC＝（AC+BC+AB）x，

∴x＝，

∴CE＝DE＝3，CD＝2DE＝2，

∴OE＝3﹣＝，

∴D（，），∵B（0，），

∴BD＝＝，

由题意：，

解得2﹣2＜r＜﹣1．

故答案为2﹣2＜r＜﹣1．