已知二次函数图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0)、
B(x2,0),x1﹤0﹤x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,.
(1)求证: ;
(2)求m、n的值;
(3)当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时,求二次函数的最大值.
(1)证明:∵二次函数图象的顶点横坐标是2,
∴抛物线的对称轴为x=2,即,化简得:n+4m=0。
(2)解:∵二次函数与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,
∴OA=-x1,OB=x2;。
令x=0,得y=p,∴C(0,p),∴OC=|p|。
由三角函数定义得:。
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即 ,化简得:。
将 代入得:,化简得:。
由(1)知n+4m=0,
∴当n=1时,;当n=-1时,。
∴m、n的值为: ,n=-1(此时抛物线开口向上)或 ,n=1(此时抛物线开口向下)。
(3)解:由(2)知,当p>0时,n=1, ,
∴抛物线解析式为:。
联立抛物线与直线y=x+3解析式得到:,
化简得: 。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,
∴一元二次方程*根的判别式等于0,即△=02+16(p-3)=0,解得p=3。
∴抛物线解析式为:。
当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4。
∴当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,二次函数的最大值为4。
解析
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