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已知二次函数图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0)、
B(x2,0),x1﹤0﹤x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,
(1)求证:
(2)求m、n的值;
(3)当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时,求二次函数的最大值.

(1)证明:∵二次函数图象的顶点横坐标是2,
∴抛物线的对称轴为x=2,即,化简得:n+4m=0。
(2)解:∵二次函数与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2
∴OA=-x1,OB=x2
令x=0,得y=p,∴C(0,p),∴OC=|p|。
由三角函数定义得:
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即 ,化简得:
 代入得:,化简得:
由(1)知n+4m=0,
∴当n=1时,;当n=-1时,
∴m、n的值为: ,n=-1(此时抛物线开口向上)或 ,n=1(此时抛物线开口向下)。
(3)解:由(2)知,当p>0时,n=1, ,
∴抛物线解析式为:
联立抛物线与直线y=x+3解析式得到:
化简得: 。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,
∴一元二次方程*根的判别式等于0,即△=02+16(p-3)=0,解得p=3。
∴抛物线解析式为:
当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4。
∴当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,二次函数的最大值为4。

解析

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上(如图示)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)P为线段AB上一动点(A、B两端点除外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q,设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x,求出l与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在精英家教网,求出点P的坐标,并求出梯形的面积;若不存在,请说明理由.

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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(3)线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q,设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x.
(1)求出l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(2)在线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标及梯形PQMA的面积;若不存在,请说明理由;
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