Question

【题目】如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，连AD交⊙O于点F．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）连接OA、OF．

①当∠ABC＝　 　°时，点F为 的中点；

②若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，则⊙O的半径是　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①72；②3．

【解析】

（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得 ，则AB＝BC，即可得出结论；

（2）①由题意得出∠AOF＝∠EOF＝m，证出∠ABE＝∠ADE＝m，则∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；

②先设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值，证△AOF是等边三角形，得出OF＝AF＝3即可．

（1）证明：∵ ，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵CD∥AB，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴CB＝CD，

∵BE是⊙O的直径，

∴，

∴AB＝BC＝CD，

∵CD∥AB，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：如图所示：

①F为的中点，则∠AOF＝∠EOF，

设∠AOF＝∠EOF＝m，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADE，

∵∠AOD＝2∠ABE，

∴∠ABE＝∠ADE＝m，

∴∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m，

∵∠AOF+∠OAF+∠OFA＝180°，

∴2m+2m+m＝180°，

∴m＝36°，

∴∠ABE＝72°，

即∠ABC＝72°时，点F为的中点，

故答案为：72；

②∵∠AOF＝3∠FOE，

设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，

∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA＝ (180°﹣3x)，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝2x，

∴∠ABC＝4x，

∵BC∥AD，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴4x+2x+ (180°﹣3x)＝180°，

解得：x＝20°，

∴∠AOF＝3x＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴OF＝AF＝3，

即⊙O的半径是3；

故答案为：3．

【点晴】

本题考查平行四边形和菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，是属于中考常考题型．