Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP．

(1)求证：△ADE≌△CDF；

(2)求证：△ADP∽△BDF；

(3)如图2，若PE＝BE，则的值是　 　(直按写出结果即可)．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．

【解析】

（1）根据SAS证明即可．

（2）想办法证明∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可解决问题．

（3）如图2中，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，设HP＝HC＝m，则PC＝ m，HF＝m，求出CF即可解决问题．

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，

∵AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF(SAS)．

(2)作FH∥AB交AC的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠FCH＝45°，

∵AB∥FH，

∴∠HFC＝∠ABC＝90°，

∴∠FCH＝∠H＝45°，

∴CF＝FH＝AE，

∵∠PAE＝∠H，∠APE＝∠FPH，

∴△APE≌△HPF(AAS)，

∴PE＝PF，

∵△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∠ADE＝∠CDF，

∴∠EFD＝∠ADC＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵EP＝PF，

∴∠EDP＝∠FDP＝45°，

∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDP＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，

∴∠ADP＝∠BDF，

∵∠DAP＝∠DBF＝45°，

∴△ADP∽△BDF．

(3)如图2中，作PH⊥BC于H．

由(2)可知：PE＝PF，

∵BE＝PE，

∴EF＝2BE，

∵∠EBF＝90°，

∴sin∠EFB＝，

∴∠EFB＝30°，

∵PH⊥FH，∠PCH＝45°，

∴∠PHC＝90°，∠HPC＝∠HCP＝45°，

∴HP＝HC，设HP＝HC＝m，则

∴CF＝m﹣m，

∴

故答案为: