Question

宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a₁局，输b₁局；二号选手胜a₂局，输b₂局，…，十号选手胜a₁₀局，输b₁₀局．试比较a₁²+a₂²+…+a₁₀²与b₁²+b₂²+…+b₁₀²的大小，并叙述理由．

Answer 1

分析：依题意可知，a₁+b₁=9，a₂+b₂=9，a₃+b₃=9…，故：b₁=9-a₁，b₂=9-a₂，b₃=9-a₃…，用作差法列式，比较大小，运用乘法公式对式子变形，得出结论．

解答：解：依题意可知，a₁+b₁=9，a₂+b₂=9，a₃+b₃=9…，
且a₁+a₂+…+a₁₀=b₁+b₂+…+b₁₀=45，
∴（a₁²+a₂²+…+a₁₀²）-（b₁²+b₂²+…b₁₀²）=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₀²-b₁₀²）
=（a₁+b₁）（a₁-b₁）+（a₂+b₂）（a₂-b₂）+…+（a₁₀+b₁₀）（a₁₀-b₁₀）
=9[（a₁+a₂+…+a₁₀）-（b₁+b₂+…+b₁₀）]
=0，
∴a₁²+a₂²+…+a₁₀²=b₁²+b₂²+…b₁₀²．

点评：考查了因式分解的应用，本题根据基本等式，运用作差法、换元法，得出关于a的式子，分类讨论．