Question

11．如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于点E，AC=3cm，AB=2cm，则△ADE的周长为4cm．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形三线合一的性质，求得AD=$\frac{1}{2}$AB=1cm，再根据直角三角形斜边上中线的性质，求得DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$cm，最后计算△ADE的周长．

解答 解：∵△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
又∵CD⊥AB，
∴CD是△ABC的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=1cm，
∵DE∥BC，CD平分∠ACB，
∴∠EDC=∠BCD=∠ECD，
∴DE=CE，
又∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴AE=CE，即E是AC的中点，
∴Rt△ACD中，DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$cm，
∴△ADE的周长为：1+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=4cm．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的性质的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．