Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在O处，一直角边OM在射线O上，另一直角边ON在直线AB的下方
（1）将图1中的三角形绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON是否平分∠AOC？计算出图中相关角的度数说明你的观点；
（2）将图1中的三角板以每秒10°的速度绕点O逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分∠AOC，则n的值为

 

（直接写出答案）；
（3）将图1中三角板绕点O旋转至图3，使ON在∠AOC的内部时，求∠AOM-∠NOC的度数．

Answer 1

考点：角的计算,余角和补角

专题：

分析：（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠BON=30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解答：解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
即旋转60°时ON平分∠AOC，
由题意得，10n=60°或240°，
∴n=6或24；
故答案为：6或24；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

点评：本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．