Question

如图，已知正方形ABCD，P为内部一点，PA=

2

，PB=1，PC=2，求正方形ABCD面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：计算题

分析：根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE，连接PE，作CH⊥BE于H，如图，根据旋转的性质得EB=PB=1，EC=PA=

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，∠PBE=90°，则可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=

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PB=

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，∠PEB=45°，再利用勾股定理的逆定理证明△PEC为直角三角形，∠PEC=90°，则∠CEH=45°，所以△CEH为等腰直角三角形，得到CH=EH=

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EC=1，则BH=BE+EH=2，在Rt△BHC中，根据勾股计算出BC²=5，则正方形ABCD面积为5．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BAP绕点B顺时针旋转90°可得到△BCE，连接PE，作CH⊥BE于H，如图，
∴EB=PB=1，EC=PA=

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，∠PBE=90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE=

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PB=

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，∠PEB=45°，
在△PEC中，∵PE=

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，EC=

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，PC=2，
∴PE²+EC²=PC²，
∴△PEC为直角三角形，∠PEC=90°，
∴∠BEC=135°，
∴∠CEH=45°，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴CH=EH=

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EC=1，
∴BH=BE+EH=2，
在Rt△BHC中，BC²=BH²+CH²=5，
∴正方形ABCD面积为5．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．