Question

如图△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ．
（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？若存在，指出P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根据SAS证△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形性质得出∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，求出PC=CQ，求出∠CQP的度数，求出∠AQC即可．

解答：（1）证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，
∴AB∥CQ；

（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：
∵由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，
∵P为BC中点，
∴PC=BP=CQ，
∴∠CQP=∠QPC=

1

2

（180°-∠PCQ）=

1

2

×（180°-60°-60°）=30°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP=60°，
∴∠AQC=60°+30°=90°，
∴AQ⊥QC，
即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．

点评：本题考查了垂直定义，全等三角形的性质和判定，平行线的判定，等边三角形的性质等知识点的综合运用．