Question

【题目】已知：如图1，我们在2016年7月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）24
（2）解：是，这个定值是35；

设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，

上下两数分别为x﹣6，x+6，

十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣6）（x+6）=x2﹣1﹣x2+36=35

（3）解：定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；

证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），

十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，

故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）

【解析】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；所以答案是：24．