如图.△ABC.是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高.BC=40cm.AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个矩形EFGH.使它的一边EF在BC上.顶点G.H分别在AC.AB上.AD与HG的交点为M．(1)求证:$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$,(2)当四边形HEFG为正方形时.求HE的长,(3)设HE=x.矩形HEFG的面积为y.求y关于x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）求证：$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；
（2）当四边形HEFG为正方形时，求HE的长；
（3）设HE=x，矩形HEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并求矩形面积的最大值．

分析（1）根据矩形性质得出HG∥BC，再证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证出；
（2）由△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质列比例式，于是得到结果；
（3）由△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质列比例式，于是得到结论．

解答（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$；

（2）解：由（1）证得△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$，
∵四边形HEFG为正方形，
∴HG=HE，
∴$\frac{30-HE}{30}=\frac{HE}{40}$，
解得：HE=$\frac{120}{7}$；

（3）解：由（1）知$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$；
∴$\frac{30-x}{30}=\frac{HG}{40}$，
∴HG=$\frac{120-4x}{3}$，
∴y=x（$\frac{120-4x}{3}$），
即：y关于x的函数解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x²+40x，
∵y=-$\frac{4}{3}$x²+40x=-$\frac{4}{3}$（x-15）²+300，
∴矩形面积的最大值是300cm²．

点评此题主要考查了相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．

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15．

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