如图.直线AB过点A．反比例函数y=mx的图象与AB交于C.D两点．P为双曲线y=mx上任一点.过P作PQ⊥x轴于Q.PR⊥y轴于R．请分别按各自的要求解答问题．(1)若m+n=10.n为何值时△AOB面积最大.最大值是多少?(2)若S△AOC=S△COD=S△DOB.求n的值,的条件下.过O.D.C三点作抛物线.当该抛物线的对称轴为x=1时.矩形PROQ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y=

的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y=

上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．请分别

按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．
（1）若m+n=10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？
（2）若S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，求n的值；
（3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

分析：（1）已知了m+n=10，则m=10-n，根据三角形的面积公式即可得出关于S，n的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的n的值．
（2）可根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，然后联立反比例函数的解析式得出C、D两点的横坐标，根据等高的三角形的面积比等于底边比以及S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，可得出C、D为AB的三等分点，因此C的横坐标为D的横坐标的2倍，由此可求出n的值．
（3）本题的关键是求出m的值，可根据C得到n的值表示出C、D的坐标，已知了抛物线的对称轴为x=1，因此抛物线与x轴的另一交点坐标为（2，0），然后将C、D坐标代入抛物线中，即可求得m的值．而矩形的面积实际是P点横坐标与纵坐标的积，也就是m的值．

解答：解：（1）∵S△AOB=

OA•OB=

m•n，
又∵m+n=10，∴S△AOB=

(10-n)•n=-

n2+5n
∴S△AOB=-

(n-5)2+

．
∴n=5时，△AOB面积最大，最大值为

．

（2）分别过D，C作y轴平行线与x轴交于M，N两点，则DM⊥x轴，CN⊥x轴．

由已知得△OBD，△ODC，△OCA等高等底．
∴BD=CD=CA．
又∵BO∥DM∥CN，
∴OM=MN=NA=

OA．∴D点的横坐标为

m．
又∵点D在函数y=

的图象上，
∴点D纵坐标为

=3．∴点D坐标为(

m，3)．
同样可求得C点坐标为(

m，

)．
设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
把A，B两点坐标代入，得

km+b=0

b=n.

解得

k=-

b=n.

∴直线AB解析式为y=-

x+n．
把D点坐标代入，得-

•

m+n=3．
∵m≠0，
∴-

n+n=3．∴n=

．

（3）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把O，D，C三点坐标分别代入，得

c=0

m2a+

mb+c=3

m2a+

mb+c=

解得a=-

4m2

，b=

，c=0．
∴抛物线解析式为y=-

4m2

x2+

x．
由已知，得-

2×(-

4m2

)

=1．
解得m=

或m=0（不合题意，舍去）．
设P点坐标为（a，b），
∵点P在双曲线y=

上，则b=

．即ab=m．
∴S矩形PQOK=PQ•PR=|a||b|=|m|=

．

点评：本题为二次函数综合题，考查了图形面积的求法、反比例函数、一次函数和二次函数的综合应用、函数图象交点等知识．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数y=

的图象与直线AB交于C、

D两点，P为双曲线y=

上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．
（1）用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；
（2）若m+n=10，n为何值时S最大并求出这个最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D两点的坐标；
（4）在（3）的条件，过O、D、C点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

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