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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y=
    m
    x
    的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y=
    m
    x
    上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．请分别精英家教网按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．
    （1）若m+n=10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？
    （2）若S△AOC=S△COD=S△DOB，求n的值；
    （3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？
    分析：（1）已知了m+n=10，则m=10-n，根据三角形的面积公式即可得出关于S，n的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的n的值．
    （2）可根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，然后联立反比例函数的解析式得出C、D两点的横坐标，根据等高的三角形的面积比等于底边比以及S△AOC=S△COD=S△DOB，可得出C、D为AB的三等分点，因此C的横坐标为D的横坐标的2倍，由此可求出n的值．
    （3）本题的关键是求出m的值，可根据C得到n的值表示出C、D的坐标，已知了抛物线的对称轴为x=1，因此抛物线与x轴的另一交点坐标为（2，0），然后将C、D坐标代入抛物线中，即可求得m的值．而矩形的面积实际是P点横坐标与纵坐标的积，也就是m的值．
    解答：解：（1）∵S△AOB=
    1
    2
    OA•OB=
    1
    2
    m•n    ，
    又∵m+n=10，∴S△AOB=
    1
    2
    (10-n)•n=-
    1
    2
    n2+5n
    ∴S△AOB=-
    1
    2
    (n-5)2+
    25
    2
    ．
    ∴n=5时，△AOB面积最大，最大值为
    25
    2
    ．

    （2）分别过D，C作y轴平行线与x轴交于M，N两点，则DM⊥x轴，CN⊥x轴．精英家教网
    由已知得△OBD，△ODC，△OCA等高等底．
    ∴BD=CD=CA．
    又∵BO∥DM∥CN，
    ∴OM=MN=NA=
    1
    3
    OA    ．∴D点的横坐标为
    1
    3
    m    ．
    又∵点D在函数y=
    m
    x
    的图象上，
    ∴点D纵坐标为
    m
    1
    3
    m
    =3    ．∴点D坐标为(
    1
    3
    m，3)    ．
    同样可求得C点坐标为(
    2
    3
    m，
    3
    2
    )    ．
    设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
    把A，B两点坐标代入，得
    km+b=0
    b=n.

    解得
    k=-
    n
    m
    b=n.
    ∴直线AB解析式为y=-
    n
    m
    x+n    ．
    把D点坐标代入，得-
    n
    m
    •
    1
    3
    m+n=3    ．
    ∵m≠0，
    ∴-
    1
    3
    n+n=3    ．∴n=
    9
    2
    ．

    （3）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    把O，D，C三点坐标分别代入，得
    c=0
    1
    9
    m2a+
    1
    3
    mb+c=3
    4
    9
    m2a+
    2
    3
    mb+c=
    3
    2
    .

    解得a=-
    81
    4m2
    ，b=
    63
    4m
    ，c=0．
    ∴抛物线解析式为y=-
    81
    4m2
    x2+
    63
    4m
    x    ．
    由已知，得-
    63
    4m
    2×(-
    81
    4m2
    )
    =1    ．
    解得m=
    18
    7
    或m=0（不合题意，舍去）．
    设P点坐标为（a，b），
    ∵点P在双曲线y=
    m
    x
    上，则b=
    m
    a
    ．即ab=m．
    ∴S矩形PQOK=PQ•PR=|a||b|=|m|=
    18
    7
    ．
    点评：本题为二次函数综合题，考查了图形面积的求法、反比例函数、一次函数和二次函数的综合应用、函数图象交点等知识．
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    m
    x
    的图象与直线AB交于C、精英家教网D两点，P为双曲线y=
    m
    x
    上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．
    （1）用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；
    （2）若m+n=10，n为何值时S最大并求出这个最大值；
    （3）若BD=DC=CA，求出C、D两点的坐标；
    （4）在（3）的条件，过O、D、C点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

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    的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
    （1）已知m+n=10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值．
    （2）当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求n的值．

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    （2013•房山区二模）如图，直线AB过点A，且与y轴交于点B．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）若P是直线AB上一点，且⊙P的半径为1，请直接写出⊙P与坐标轴相切时点P的坐标．

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    如图，直线AB过点A（4，0）、B（0，3）．反比例函数y=
    px
    （p＞0）的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
    （1）求直线AB的解析式．
    （2）若△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，求反比例函数的解析式．

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