Question

18．解下列不等式：
（1）x²-7x+12＞0；
（2）-x²-2x+3≥0；
（3）x²-2x+1＜0；
（4）x²-2x+2＞0．

Answer 1

分析 （1）先将不等式左边因式分解，得出（x-3）（x-4）＞0，再根据乘法法则得出x-3与x-4同号，再分x-3与x-4同时为正号与同时为负号两种情况得出不等式组，解不等式组即可；
（2）先将不等式变形为x²+2x-3≤0，将左边因式分解，得出（x-1）（x+3）≤0，再根据乘法法则得出x-1与x+3异号，再分x-1为非负数与x+3为非正数，和x-1为非正数与x+3为非负数两种情况得出不等式组，解不等式组即可；
（3）根据完全平方公式得出原不等式即为（x-1）²＜0，根据任何一个数的平方都是一个非负数，得出原不等式无解；
（4）利用配方法得出x²-2x+2=（x-1）²+1，根据平方的非负性可知（x-1）²+1≥1＞0，进而求出x²-2x+2＞0的解集为全体实数．

解答 解：（1）x²-7x+12＞0，
（x-3）（x-4）＞0，
可化为$\left\{\begin{array}{l}{x-3＞0}\\{x-4＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-3＜0}\\{x-4＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞4或x＜3；

（2）-x²-2x+3≥0，
即x²+2x-3≤0，
（x-1）（x+3）≤0，
可化为$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x+3≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1≤0}\\{x+3≥0}\end{array}\right.$，
解得无解或-3≤x≤1；

（3）x²-2x+1＜0，
（x-1）²＜0，
∵任何一个数的平方都是一个非负数，
∴x无解；

（4）x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵（x-1）²≥0，
∴（x-1）²+1≥1＞0，
∴x²-2x+2＞0的解集为全体实数．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法．含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax²+bx+c＞0 或 ax²+bx+c＜0（a不等于0）．求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集．一元二次不等式还可通过二次函数图象进行求解．同时考查了配方法与完全平方公式．