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【题目】如图,△DAC△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠DBC.其中正确的有( )

A. ②④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

【答案】C

【解析】∵△DAC和△EBC均是等边三角形,

∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,

∴∠ACE=∠BCD,

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△DCB(SAS);∴①正确;

∵∠ACD=∠BCE=60°,

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°=∠ACD,

∵△ACE≌△DCB,

∴∠NDC=∠CAM,

在△ACM和△DCN中

∴△ACM≌△DCN(ASA),

∴CM=CN,AM=DN,∴②正确;

∵△ADC是等边三角形,

∴AC=AD,

∠ADC=∠ACD,

∵∠AMC>∠ADC,

∴∠AMC>∠ACD,

∴AC>AM,

即AC>DN,∴③错误;

∵∠DBC+∠CDB=60°,∠DAE+∠EAC=60°,而∠EAC=∠CDB,∴∠DAE=∠DBC,④正确,

∴正确答案①②④

故选C.

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