Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．

（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）；

（2）当P点运动到（-1，-2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由；

（3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0，-4）；（2）相切，理由详见解析；（3）存在，P1（-1，-2）或P2（，）；（4）

【解析】

（1）在抛物线中令y=0即可求出点B的坐标，令x=0即可求出点C的坐标；

（2）分别求出三边的长度即可得出答案；

（3）根据勾股定理求出BC和的长度，过作⊥x轴于点E，⊥y轴于点F，根据相似三角形的性质得出，设，即可得出BE和CF的长度，解出x的值即可得出P2的坐标，同理即可得出P1的坐标；

（4）根据中位线定理AP最大时，OE的值最大．

解：（1）在中，令 y=0， 则x=3 或-3，令 x=0， 则y=-4

故B（3，0），C（0，-4）；

（2）当P点运动到（-1，-2）时，PB与⊙C相切；

此时PB2=20，PC2=5，BC2=25，可得PB2+PC2=BC2，

从而CP⊥PB，∴PB与⊙C相切．

（3）存在点P，使得△PBC为直角三角形．

①当PB与圆O相切时，△PBC是直角三角形，如图，连接BC

∵OB=3，OC=4

∴BC=5

∵，

∴

过作⊥x轴于点E，⊥y轴于点F

则△∽△，四边形是矩形

∴

设，

∴BE=3-x，CF=2x-4

∴

解得：

∴，

∴P2（，）

②同理求得：P1（-1，-2）

综上所述，点P的坐标为：P1（-1，-2）或P2（，）；

（4）

如图∵E为PB的中点，OE是△BAP的中位线

∴OE=AP

∵

∴