Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；
（2）求直线BD的函数关系式；
（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为BD是AC边上的中线，所以过A画AP∥BC，交直线BD于P，连接PC，可得到△ADP≌△CDB．
即可得到BD=CD．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可知四边形ABCP是所画的平行四边形；
（2）因为AB=AC=4，BD是AC边上的中线，所以可得到AD=DC=2，即B（0，4），D（2，0）．
可设直线BD的函数关系式：y=kx+b，将B、D的坐标代入，得到关于k、b的方程组，解之即可；
（3）因为M在直线BD上，所以可设M（a，-2a+4），因为△AMC为等腰三角形，所以需分情况讨论：
分三种情况：
①若AM=AC，利用两点间的距离公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，因为AC²=16，所以可得到关于a的方程，解之即可；
②若MC=AC，利用两点间的距离公式可得MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16，所以可得到关于a的方程，解之即可；
③若AM=MC，利用两点间的距离公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²解之即可，又因M₅（2，0）点在AC上，构不成三角形，所以应舍去．

解答：解：（1）（4分）
正确画出平行四边形ABCP．                           （2分）
叙述画图过程合理．                                 （4分）
方法一：在直线BD上取一点P，使PD=BD
连接AP，PC．                                        （1分）
所以四边形ABCP是所画的平行四边形．                  （2分）
方法二：过A画AP∥BC，交直线BD于P，
连接PC．                                            （1分）
所以四边形ABCP是所画的平行四边形．                  （2分）

（2）（4分）
∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．                            （2分）
设直线BD的函数关系式：y=kx+b，
得

b=4 2k+b=0

解得

b=4 k=-2

．                      （3分）
∴直线BD的函数关系式：y=-2x+4．                    （4分）

（3）（6分）
设M（a，-2a+4）．                                  （2分）
分三种情况：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得a1=0，a2=

16

5

．
∴M₁（0，4），M2(

16

5

，-

12

5

)．               （3分）
②MC=AC．
∵MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得a3=4，a4=

4

5

．
∴M₃（4，-4），M4(

4

5

，

12

5

)．                  （4分）
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，解得a₅=2．
∴M₅（2，0），这时M₅点在AC上，构不成三角形，舍去． （5分）
综上所述，在直线BD上存在四点，即M₁（0，4），M2(

16

5

，-

12

5

)，M₃（4，-4），M4(

4

5

，

12

5

)符合题意．  （6分）

点评：本题主要考查待定系数法求函数的解析式和两点间的距离公式，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法，另外要注意答案的合理性．