Question

13．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，过点D作DF⊥AB于点F，过点A作BD的垂线，交BD的延长线于点E，点G是BD的中点．
求证：（1）△BDC≌△BDF；
（2）AE=CG．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CG=$\frac{1}{2}$BD，根据等腰直角三角形的判定得到△ADF是等腰直角三角形，求得AF=DF，设AF=DF=x，得到AD=$\sqrt{2}$x，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$x，求得CG=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$x，根据相似三角形的性质得到AE=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$x，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥BC，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，
∴∠CBD=∠FBD，
在△BDC与△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠DCB}\\{∠CBD=∠FBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△BDF；

（2）∵∠ACB=90°，点G是BD的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵DF⊥AB，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF，
设AF=DF=x，
∴AD=$\sqrt{2}$x，
∵DF=CD=x，
∴AC=BC=（$\sqrt{2}$+1）x，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$x，
∴CG=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$x，
∵AE⊥BD，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠ACB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴△ADE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$，即$\frac{AE}{（\sqrt{2}+1）x}$=$\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}x}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$x，
∴AE=CG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．