Question

6．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AC的中点，点E是AB边上的一动点，点F是射线BC上一动点，且∠FDE=90°，设AE=x，CF=y．
（1）当△ADE与△ABC相似时，求：AE的长．
（2）当点F在线段BC上时，求：y关于x的函数解析式及定义域．
（3）连结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可求得AB=5，当△ADE与△ABC相似时，可分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况讨论，就可求出t的值；
（2）过点E作EH⊥AC于H，易证△AHE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质求出AH、EH（用x的代数式表示），易证△FCD∽△DHE，然后利用相似三角形的性质就可得到y与x的关系式，然后根据点F在线段BC上得到y的范围，进而得到x的范围；
（3）若△CDE为等腰三角形，可分CD=CE、DC=DE、EC=DE三种情况讨论，求出AH、HE、DH，然后证出△FCD∽△DHE，利用相似三角形的性质求出CF，从而可求出BF的值．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
∵D是AC的中点，∴CD=AD=2．
①若△ADE∽△ABC，
则有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{x}{4}$，
解得x=$\frac{8}{5}$．
②若△ADE∽△ACB，
则有$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{5}$，
∴x=$\frac{5}{2}$．
综上所述：当△ADE与△ABC相似时，AE的长为$\frac{8}{5}$或$\frac{5}{2}$；

（2）过点E作EH⊥AC于H，如图1．

则有∠EHA=∠C=90°．
又∵∠A=∠A，
∴△AHE∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{CB}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{AH}{4}$=$\frac{HE}{3}$=$\frac{x}{5}$，
∴AH=$\frac{4x}{5}$，HE=$\frac{3x}{5}$，
∴DH=AD-AH=2-$\frac{4x}{5}$．
∵∠FDE=90°，∠C=90°，
∴∠CFD+∠CDF=90°，∠EDH+∠CDF=180°-90°=90°，
∴∠CFD=∠EDH．
又∵∠C=∠DHE=90°，
∴△FCD∽△DHE，
∴$\frac{CF}{HD}$=$\frac{CD}{HE}$，即CF•HE=CD•HD，
∴y•$\frac{3x}{5}$=2•（2-$\frac{4x}{5}$），
∴y=$\frac{20}{3x}$-$\frac{8}{3}$．
∵点F在线段BC上，
∴0≤y≤3，
∴0≤$\frac{20}{3x}$-$\frac{8}{3}$≤3，
∴$\frac{20}{17}$≤x≤$\frac{5}{2}$．
∴y关于x的函数解析式为y=$\frac{20}{3x}$-$\frac{8}{3}$，定义域为$\frac{20}{17}$≤x≤$\frac{5}{2}$；

（3）①若CE=CD，
过点C作CG⊥AB于G，如图2，

则有CG≤CE．
∵CG=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，CE=CD=2，
∴CG＞CE，
与“CG≤CE”矛盾，
∴CE≠CD．
②若DC=DE，如图3，

则有DC=DE=DA，
∴∠DCE=∠DEC，∠DEA=∠DAE．
∵∠DCE+∠DEC+∠DEA+∠DAE=180°，
∴2∠DEC+2∠DEA=180°，
∴∠DEC+∠DEA=90°，
∴∠CEA=90°，即CE⊥AB，
∴点E与点G重合，
此时x=AE=AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴AH=$\frac{4x}{5}$=$\frac{64}{25}$，HE=$\frac{3x}{5}$=$\frac{48}{25}$，
∴DH=$\frac{64}{25}$-2=$\frac{14}{25}$．
∵∠FDE=90°，∠FCD=90°，
∴∠CFD+∠CDF=90°，∠EDH+∠CDF=90°，
∴∠CFD=∠EDH．
又∵∠C=∠DHE=90°，
∴△FCD∽△DHE，
∴$\frac{CF}{HD}$=$\frac{CD}{HE}$，即CF•HE=CD•HD，
∴CF×$\frac{48}{25}$=2×$\frac{14}{25}$，
∴CF=$\frac{7}{12}$，
∴BF=BC+CF=3+$\frac{7}{12}$=$\frac{43}{12}$．
③若EC=ED，如图4，

则有CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=1，AH=3．
由△AHE∽△ACB得$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{CB}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{HE}{3}$，
∴HE=$\frac{9}{4}$．
由△FCD∽△DHE得$\frac{CF}{HD}$=$\frac{CD}{HE}$，即CF•HE=CD•HD，
∴CF×$\frac{9}{4}$=2×1，
∴CF=$\frac{8}{9}$，
∴BF=BC+CF=3+$\frac{8}{9}$=$\frac{35}{9}$．
综上所述：当△CDE为等腰三角形时，BF的长为$\frac{43}{12}$或$\frac{35}{9}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．