Question

【题目】综合与实践：矩形的旋转

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．

操作发现：

（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是　 　．

（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．

（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中∠MQN与旋转角∠AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．

实践探究：

（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化．若矩形纸片的长为，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）结论：AM＝CN，理由见解析；

（2）证明见解析；

（3）结论：∠MQN＝∠AOE，理由见解析；

（4）∠AOE＝45°或135°时，四边形QMRN面积最大为．

【解析】

(1)先证明△AOK≌△AOJ(ASA)，推出OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，再证明△EKM≌△GJN(ASA)即可的解；(2)过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L、先证明四边形QMRN是平行四边形，再证明QM＝QN即可的解；(3)由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题；(4)如图3-2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ＝AD＝，则AJ＝2，通过解直角三角形求出∠BOC的度数，再结合图象即可得解.

（1）结论：AM＝CN．

理由：如图2中，设AB交EG于K，CD交EG于J．

∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形，

∴AB∥CD，EF∥EG，OA＝OC＝OE＝OG，

∴∠MEK＝∠JGN，∠OAK＝∠OAJ，

∵∠AOK＝∠AOJ，∴△AOK≌△AOJ（ASA），

∴OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，∴EK＝JG，

∵∠EKM＝∠AKO，∠GJN＝∠CJO，∴∠EKM＝∠GJN，

∴△EKM≌△GJN（ASA），∴KM＝JN，∴AM＝AN．

（2）证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．

由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH，

∴AD＝EH，AB∥CD，EF∥HG，

∴四边形QMRN为平行四边形，

∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK＝EH，QL＝AD，∠QKM＝∠QLN＝90°，∴QK＝QL，

又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ＝∠MQN，∠MQN＝∠LNQ，

∴∠KMQ＝∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS），

∴MQ＝NQ∴四边形QMRN为菱形．

（3）结论：∠MQN＝∠AOE．理由：如图3﹣1中，

∵∠QND＝∠1+∠2，∠AOE＝∠1+∠3，

又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2＝∠3，∴∠QND═∠AOE，

∵AB∥CD，∴∠MQN＝∠QND，∴∠MQN＝∠AOE．

（4）如图3﹣2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ＝AD＝，则AJ＝2，

∵CD＝2+，∴CJ＝AJ＝2，∴∠JCA＝∠JAC，

∵∠AJD＝45°＝∠JCA+∠JAC，∴∠ACJ＝22.5°，

∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝22.5°，∴∠BOC＝45°，

观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值＝，

∴∠AOE＝45°或135°时，四边形QMRN面积最大为．