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    已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2
    		3
    ），C（0，2
    		3
    ），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
    （1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
    （2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
    （3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）求∠OAB的度数，我们可根据A、B的坐标来求，根据tan∠OAB=B的纵坐标的绝对值：A、B横坐标的差的绝对值，可得出∠OAB的度数．得出的∠BAO是60°后，以及折叠得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等边三角形，且三边长均为10-t．求面积就要有底边和高，我们可以AA′为底边，那么PT就是高，AA′=10-t，那么关键是PT的值，已知了∠BAT的度数，我们可以用AT的长以及∠BAT的正弦函数表示出PT的长，由此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式．此时AT即AA′的最大值为AB的长，也就是4，因此AT的取值范围是0＜AT≤4，那么t的取值范围就是6≤t＜10；
    （2）当重叠部分是四边形时，那么此时A′应该在AB的延长线上，那么此时AA′的最小值应该是AB的长即4，最大的值应该是当P与B重合时AA′的值即8，由于三角形ATA′是个等边三角形，那么AT的取值范围就是4＜AT＜8，那么t的取值就应是2＜t＜6；
    （3）可分成三种情况进行讨论：
    ①当A′在AB上时，即当6≤t＜10时，可根据（1）的函数来求出此时S的最大值；
    ②当A′在AB延长线上但P在AB上时，即当2≤t＜6时，此时重合部分的面积=三角形AA′T的面积-上面的小三角形的面积，根据AT和AB的长，我们可得出A′B的长，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面积，也就可以求出重合部分的面积；
    ③当A′在AB延长线上且P也在AB延长线上时，即当0＜t≤2时，重合部分的面积就是三角形EFT的面积（其中E是TA′与CB的交点，F是TA与CB的交点）那么关键是求出BF，BE的值，知道了AT的长，也就知道了AP，A′P的长，根据AB=4我们不难得出BP的长，有了BP的长就可以求出A′B，BE的长，在直角三角形BPE中，可根据∠PBF的度数，和BP的长，来表示出BF的长，这样我们就能表示出EF的长了，又知道EF边上的高是OC的长，因此可根据三角形的面积来求出S的值．
    然后综合三种情况判断出是否有S的最大值．
    解答：解：（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，2
    		3
    ），
    ∴tan∠OAB=
    2
    		3
    10-8
    =
    		3
    ，
    ∴∠OAB=60°，精英家教网
    当点A′在线段AB上时，
    ∵∠OAB=60°，TA=TA′，
    ∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AA′，
    ∴TP=（10-t）sin60°=
    		3
    2
    （10-t），A′P=AP=
    1
    2
    AT=
    1
    2
    （10-t），
    ∴S=S△ATP=
    1
    2
    A′P•TP=
    		3
    8
    （10-t）2，
    当A?与B重合时，AT=AB=
    		3
    sin60°
    =4，
    所以此时6≤t＜10；

    （2）当点A′在线段AB的延长线上，且点P在线段AB（不与B重合）上时，
    纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点），精英家教网
    假设点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0），由（1）中求得当A?与B重合时，T的坐标是（6，0），
    则当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6；

    （3）S存在最大值．
    ①当6≤t＜10时，S=
    		3
    8
    （10-t）2，
    在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
    ∴当t=6时，S的值最大是2
    		3
    ；
    ②当2≤t＜6时，由图①，重叠部分的面积S=S△A′TP-S△A′EB，
    ∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
    ∴S=
    		3
    8
    （10-t）2-
    1
    2
    （10-t-4）2×
    		3
    2
    +
    1
    2
    （
    10-t
    2
    -4）2×
    		3
    2
    =
    		3
    8
    （-
    1
    2
    t2+2t+30）=-
    		3
    16
    （t-2）2+4
    		3
    ，
    当t=2时，S的值最大是4
    		3
    ；
    ③当0＜t≤2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线上是（如图②，其中E是TA?与CB的交点，F是TP与CB的交点），
    ∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，
    ∴EF=ET=AB=4，
    ∴S=
    1
    2
    EF•OC=
    1
    2
    ×4×2
    		3
    =4
    		3
    ．
    综上所述，S的最大值是4
    		3
    ，此时t的值是t=2．
    点评：这是试卷的压轴题，考查知识点较多，是代数与几何结合的综合题，其中有分类思想的渗透．
    主要问题是在解题中计算三角形面积时没有除以2，或分类情况不全面，或对于取值范围的处理不到位．特别是认为只存在一个t的值使得面积最大，导致失分较多．更多是缺乏对复杂问题的分析能力，导致不会做．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2
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    ），C（0，2
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    ），点T在线段OA上（不与线段点重合），将纸片沿过T点的直线折叠，使点A落在射线AB上（记为点A'），折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图2中的阴影部分）的面积为S；
    （1）直接写出∠OAB的度数；
    （2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，直接写出t的取值范围；
    （3）求S关于t的解析式及S的最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边OA=10，CB=8，垂直于底的腰OC=2
    		3
    ，点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S；
    （1）求∠OAB的度数；
    （2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
    （3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
    （4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2
    		3
    ），C（0，2
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    ），点P在线段OA上（不与O、A重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A’），折痕PQ与射线AB交于点Q，设OP=x，折叠后纸片重叠部分的面积为y．（图②供探索用）
    （1）求∠OAB的度数；
    （2）求y与x的函数关系式，并写出对应的x的取值范围；
    （3）y存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012年北京市三帆中学九年级上学期期中测试数学卷 题型：解答题

    已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片沿过T点的直线折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

    【小题1】(1)直接写出∠OAB的度数；
    【小题2】(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，直接写出t的取值范围；
    【小题3】(3)求S关于t的解析式及S的最大值.

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