Question

【题目】如图，ABCD中，点E在BC延长线上，EC＝BC，连接DE，AC，AC⊥AD于点A、

（1）求证：四边形ACED是矩形；

（2）连接BD，交AC于点F．若AC＝2AD，猜想∠E与∠BDE的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）∠E＝2∠BDE

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，EC=BC，易证得四边形ACED是平行四边形，又由AC⊥AD，即可证得四边形ACED是矩形；
（2）根据矩形的性质得∠E=∠DAC=90°，可证得DA=AF，由等腰三角形的性质可得∠ADF=45°，则∠BDE=45°，可得出∠E=2∠BDE．

（1）证明：因为ABCD是平行边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BC＝CE，点E在BC的延长线上，

∴AD＝EC，AD∥EC，

∴四边形ACED为平行四边形，

∵AC⊥AD，

∴平行四边形ACED为矩形

（2）∠E＝2∠BDE

理由：∵平行四边形ABCD中，AC＝2AF，

又∵AC＝2AD，

∴AD＝AF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∵AC∥ED，

∴∠BDE＝∠BFC，

∵∠BFC＝∠AFD，

∴∠BDE＝∠ADF＝45°，

∴∠E＝2∠BDE