分析 (1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB,∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO,由三角形内角和定理即可得出结论;
(2)延长AD、BC交于点F,根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,进而得出∠OAB+∠OBA=90°,故∠PAB+∠MBA=280°,再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,可知∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM,由三角形内角和定理可知∠F=50°,再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE,进而得出结论;
(3))由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO,∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ,进而得出∠E的度数,由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°;
(4)在△AEF中,由一个角是另一个角的4倍分四种情况进行分类讨论.
解答 解:(1)∠AEB的大小不变,
∵直线MN与直线PQ相交于O,
∴∠AOB=80°,
∴∠OAB+∠OBA=80°,
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB,∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO,
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠OAB+∠ABO)=50°,
∴∠AEB=130°;
(2)∠CED的大小不变.
延长AD、BC交于点F.
∵直线MN与直线PQ相交于O,
∴∠AOB=80°,
∴∠OAB+∠OBA=80°,
∴∠PAB+∠MBA=280°,
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM,
∴∠BAD+∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠PAB+∠ABM)=140°,
∴∠F=50°,
∴∠FDC+∠FCD=140°,
∴∠CDA+∠DCB=220°,
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,
∴∠CDE+∠DCE=115°,
∴∠E=65°;
故答案为:50°,65°;
(3)∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO,∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ,
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=$\frac{1}{2}$(∠BOQ-∠BAO)=$\frac{1}{2}$∠ABO,
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线,
∴∠EAF=90°;
故答案为:90°;
(4)在△AEF中,∵有一个角是另一个角的4倍,故有:
①∠EAF=4∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°;
②∠EAF=4∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°(舍去);
③∠F=4∠E,∠E=18°,∠ABO=36°;
④∠E=4∠F,∠E=72°,∠ABO=144°(舍去).
∴∠ABO为36°或45°.
故答案为:36°或45°.
点评 本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.
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A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\frac{6\sqrt{13}}{13}$ |
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