Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）=ax²+2ax﹣3a。
∵y= ax²+2ax﹣3a =a（x²+2x﹣3）=a（x+1）²﹣4a，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）。
（2）①如图1，设AC与抛物线对称轴的交点为E，

∵抛物线y=ax²+2ax﹣3a与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，﹣3a）。
设直线AC的解析式为：y=kx+t，
则：，解得：。
∴直线AC的解析式为：y=﹣ax﹣3a。
∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a）。∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a。
∴。
∴﹣3a=3，解得a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3。
②∵y=﹣x²﹣2x+3，∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3）。
∵A（﹣3，0），
∴AD²=（﹣1+3）²+（4﹣0）²=20，CD²=（﹣1﹣0）²+（4﹣3）²=2，
AC²=（0+3）²+（3﹣0）²=18。
∴AD²=CD²+AC²。∴∠ACD=90°。
∴。
∵∠PAB=∠DAC，∴tan∠PAB=tan∠DAC=。
如图2，设y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F，
∵，
∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）。
分两种情况：
（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为，

由解得，，（舍去）。
∴P点坐标为（，）。
将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）²+4，
得=﹣（+m）²+4，解得m₁=，m₂=1（舍去）。
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x）²+4。
（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为。

由解得，
，（舍去）。
∴P点坐标为（，）。
将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）²+4，
得=﹣（+m）²+4，解得m₁=，m₂=1（舍去）。
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x）²+4。
综上可知，平移后抛物线的解析式为y=﹣（x）²+4或y=﹣（x）²+4。

试题分析：（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是﹣3和1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+3）（x﹣1），再配方为顶点式，可确定顶点坐标。
（2）①设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式。
②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=。设抛物线向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=1。分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2①，F点的坐标为（0，1），（Ⅱ）如图2②，F点的坐标为（0，﹣1）．针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式。