Question

如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点A，⊙O₂的弦BC经过⊙O₁上一点D，AB、AC分别交⊙O₁于E、F，AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O₁的切线；
（2）若⊙O₁与⊙O₂的半径之比等于2：3，BD=2，DF=，求AB和AD的长．

Answer 1

（1）证明：过点A作两圆外切线PQ，作⊙O₁的直径DK，连接KF，EF，
则∠EFA=∠PAB，∠C=∠PAB．
∴∠EFA=∠C．
∴EF∥BC．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDC=∠EFD=∠BAD=∠CAD=∠DKF．
∵DK是⊙O₁的直径，∴∠KDF+∠DKF=90°，∠FDC+∠KDF=90°．
∴DO₁⊥DC．
∴BC是⊙O₁的切线．

（2）解：连接O₁O₂，则直线O₁O₂必过A点，
作O₁M⊥AB，O₂N⊥AB，M，N为垂足，则O₁M∥O₂N，
且AM=AE•AN=AB，
∴．
∴AE=2BE，AB=3BE．
∵BC切圆O₁于D，∴BD²=BE•BA=3BE²
∴BE²=4．
∵BE＞0，∴BE=2，∴AB=3BE=6
∵BD为⊙O₂的切线，∴∠ADB=∠AFD，
∴，
∴AD=．
分析：（1）过点A作两圆外切线PQ，作⊙O₁的直径DK，连接KF，EF，首先证明由∠EFA=∠C证明EF∥BC，最终可证明∠FDC+∠KDF=90°；
（2）连接O₁O₂，则直线O₁O₂必过A点，作O₁M⊥AB，O₂N⊥AB，M，N为垂足，首先证明AE、BE、AB的等量关系，根据切线定理，即可算出BE、AB，最后计算出AD．
点评：本题考查了切线的判定，平行线分线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．