Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S_△OAC-S_△OBC=OA•OB）
（1）求b的值；
（2）若tan∠CAB=

1

2

，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为

13

4

？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据S_△OAC-S_△OBC=OA•OB来求解，先用OA、OC、OB的长，表示出△OAC、△OBC的面积，然后根据韦达定理即可求出b的值．
（2）先根据tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的长，即可得出A点的坐标，将A的坐标代入抛物线的解析式中，可将抛物线解析式中的待定系数减少为1个，然后用这个待定系数表示出P、B点的坐标，即可得出AB的长，如果过P作抛物线的对称轴交x轴于M，交圆于N，那么△PAB的外心必在PN（抛物线的对称轴）上，那么可根据相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，据此可求出抛物线中的待定系数，由此可得出抛物线的解析式．

解答：解：（1）设A（x₁，0）、B（x₂，0），由题设可求得C点的坐标为（0，c）
且x₁＜0，x₂＞0
∵a＜0，
∴c＞0
由S_△AOC-S_△BOC=OA×OB
得：-

1

2

x₁c-

1

2

x₂c=-x₁x₂
得：

1

2

c（-

b

a

）=

c

a

得：b=-2

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N
∵tan∠CAB=

1

2

∴OA=2•OC=2c
∴A点的坐标为（-2c，0）
∵A点在抛物线上，
∴x=-2c，
y=0代入y=ax²-2x+c
得a=-

5

4c

又∵x₁、x₂为方程ax²-2x+c=0的两根
∴x1+x2=-

b

a

=

2

a

即-2c+x2=

2

a

=-

8

5

c
∴x2=

2

5

c
∴B点的坐标为(

2

5

c，0)
∴顶点P的坐标为（-

4

5

c，

9

5

c）
由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN
又∵AB=

12

5

c，
∴AM=BM=

6

5

c，PM=

9

5

c
∴（

6

5

c）²=

9

5

c（

13

2

-

9

5

c）
∴c=

5

2

，a=-

1

2

（9分）
∴所求抛物线的函数解析式是：y=-

1

2

x²-2x+

5

2

．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定，韦达定理，相交弦定理等知识点．综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．