Question

某图书馆门前的一段楼梯的界面如图所示，这段楼梯分成7级高度均为0.3m的阶梯，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根于EF垂直且长为1m的不锈钢架杆AC和BD（杆子的底端分别为C、D），测得楼梯的倾斜角∠BAH=34.2°．
（1）B点与A点的高度差BH=______m．
（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AC+AB+BD）．（结果精确到0.1米）
（3）现要将该楼梯改造成可以供残疾人用的斜坡PD（如图），已知斜坡PD的坡角∠DPF=15°，求斜坡多占多长一段地面（即PE）？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

Answer 1

解：（1）∵阶梯的高度均为0.3m，
∴D点与C点的高度差=6×0.3m=1.8m，
∴B点与A点的高度差BH=1.8m；
故答案为1.8．

（2）在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，
∴sin34.2°=≈0.56，即AB=≈3.21（m），
∴所用不锈钢材料的总长度l=AC+AB+BD=1+3.21+1≈5.2（m）．

（3）如图，BH与EF的延长线交于点M，

在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，
∴tan34.2°==0.68，
∴AH=≈2.65（m），
在Rt△PDM中，DM=BH+0.3=1.8+0.3+1=2.1m，∠DPF=15°，
∴tan15°=，
∴PM=≈7.78m，
∴PE=PM-EM=AM-AH=7.78-2.65≈5.1（m），
即斜坡多占5.1m的一段地面．
分析：（1）D点与C点的高度差=6×0.3m=1.8m，而B点与A点的高度差BH等于D点与C点的高度差，即可得到BH的高度；
（2）在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，利用sin34.5°=≈0.56，即可计算出AB的长；而AC=BD=1m，从而得到所用不锈钢材料的总长度l=AC+AB+BD；
（3）BH与EF的延长线交于点M，在Rt△ABH中，BH=1.8，∠BAH=34.2°，利用sin34.5°=≈0.56，计算出AH，即得到EM；
在Rt△PDM中，DM=BH+1.3=1.8+0.3=2.1m，∠DPF=15°，利用tan15°=，计算出AM，然后由PE=PM-EM=AM-AH得到PE的长度．
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，已知一锐角和一直角边，可以利用此锐角的正弦或余弦求斜边，利用此锐角的正切求另一直角边．