Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).

（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）s=96﹣6t （2）或

【解析】

（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据三角形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式；

（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．

在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t.

解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16﹣t，

∴S=QBPM=（16﹣t）×12=96﹣6t

（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，

由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，

此时，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程无解，

∴BP≠BQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．

综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．