Question

【题目】如图，在中，，，，在上，且，过点作射线（AN与BC在AC同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为/，设点运动时间为秒．

（1）经过_______秒时，是等腰直角三角形？

（2）当于点时，求此时的值；

（3）过点作于点，已知，请问是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？对存在的情况，请求出t的值，对不存在的情况，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）8；（3）2

【解析】

（1）得出两腰AM=AP时，即可得出答案；

（2）根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠CBA=∠AMP，证明△ACB≌△PAM，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；

（3）由勾股定理求出BM的值，可知BD>BM，则不存在点P使的等腰三角形，又由AM<BM，则存在点P使的等腰三角形，可证△MCB≌△PAM得PA的长，即可求出t的值．

解：（1）∵∠PAM=90°，当是等腰直角三角形时，

则有PA=AM=6cm，

∴t=6÷1=6（s）

故答案为：6；

（2）∵，

∴∠AQM=90°，∠PAM=90°，

∴∠AMP+∠BAC=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠CBA+∠BAC=90°，

∴∠AMP=∠CBA，

在△ACB和△PAM中，

，

∴△ACB≌△PAM（ASA），

∴PA=AC，

∵，

∴，

∴t=8÷1=8（s），此时的值为8；

（3）∵，，， ，

∴，

由勾股定理得：，

∵，，

∴BD>BM，则不存在点P使的等腰三角形，

又∵AM<BM，则存在点P使的等腰三角形，

在Rt△MCB和Rt△PAM中，

，

∴△MCB≌△PAM（HL），

∴PA=CM=2cm，

∴t=2÷1=2（s），此时的值为2．