Question

【题目】在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

（1）求函数y=x+2的图像上所有“中国结”的坐标；

（2）求函数y=（k≠0，k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；

（3）若二次函数y=（k为常数）的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个.

【解析】

试题（1）因为x是整数，x≠0时，x是一个无理数，所以x≠0时，x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可．

（2）首先判断出当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．

（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．

试题解析：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，

∴x≠0时，x+2不是整数，

∴x=0，y=2，

即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．

（2）①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：

（1，1）、（﹣1、﹣1）；

②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：

（1，﹣1）、（﹣1，1）．

③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：

（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，

综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；

k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．

（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，

则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，

∴

∴，

整理，可得

x1x2+2x2+1=0，

∴x2（x1+2）=﹣1，

∵x1、x2都是整数，

∴或

∴或

①当时，

∵，

∴k=；

②当时，

∵，

∴k=k﹣1，无解；

综上，可得

k=，x1=﹣3，x2=1，

y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k

=[()2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣

=﹣x2﹣x+

①当x=﹣2时，

y=﹣x2﹣x+=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+

=

②当x=﹣1时，

y=﹣x2﹣x+

=﹣×（﹣1）2﹣×（﹣1）+

=1

③当x=0时，y=，

另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：

（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．

综上，可得

若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，

该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．