Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．

（1）写出图中所有的等腰三角形；

（2）若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数．

Answer 1

【答案】（1）△ABC，△BCD，△BED；（2）∠ABD=48°，∠ACB=76°

【解析】

（1）根据等腰三角形的判定，两底角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，即可找出图中所有的等腰三角形；

（2）根据邻补角的性质可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°2∠BED＝48°，设∠ACB＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°2x°，又根据三角形外角的性质得出∠BDC＝∠A＋∠ABD，则x＝1802x＋48，求得∠ACB＝76°．

（1）解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

∵BE＝BD＝BC，

∴△BCD，△BED是等腰三角形；

∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；

（2）∵∠AED=114°，

∴∠BED=180°－∠AED=66°．

∵BD=BE，

∴∠BDE=∠BED=66°，

∴∠ABD=180°－66°×2=48°．

设∠ACB=x°，

∴∠ABC=∠ACB=x°，

∴∠A=180°－2x°．

∵BC=BD，

∴∠BDC=∠ACB=x°．

又∵∠BDC为△ABD的外角，

∴∠BDC=∠A+∠ABD，

∴x=180－2x+48，

解得：x=76，

∴∠ACB=76°．