【题目】阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2=________,x3=________;
(2)拓展:用“转化”思想求方程=x的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
【答案】(1)-2;1;(2)x=3;(3)AP的长为4m .
【解析】
(1)对方程左边因式分解;(2)方程两边同时平方,得到一元二次方程,再因式分解;(3)根据题中的相等关系得到方程,再转化为一元二次方程.
(1)-2;1
(2)解: =x,
方程的两边平方,得2x+3=x2
即x2﹣2x﹣3=0
(x﹣3)(x+1)=0
∴x﹣3=0或x+1=0
∴x1=3,x2=﹣1,
当x=﹣1时, = =1≠﹣1,
所以﹣1不是原方程的解.
所以方程 =x的解是x=3
(3)解:因为四边形ABCD是矩形,
所以∠A=∠D=90°,AB=CD=3m
设AP=xm,则PD=(8﹣x)m
因为BP+CP=10,
BP= ,CP=
∴ + =10
∴ =10﹣
两边平方,得(8﹣x)2+9=100﹣20 +9+x2
整理,得5 =4x+9
两边平方并整理,得x2﹣8x+16=0
即(x﹣4)2=0
所以x=4.
经检验,x=4是方程的解.
答:AP的长为4m
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【题目】阅读理解:
关于x的方程:x+=c+的解为x1=c,x2=;x﹣=c﹣(可变形为x+=c+)的解为x1=c,x2=;x+=c+的解为x1=c,x2= Zx+=c+的解为x1=c,x2=Z.
(1)归纳结论:根据上述方程与解的特征,得到关于x的方程x+=c+(m≠0)的解为 .
(2)应用结论:解关于y的方程y﹣a=﹣
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【题目】某射击运动员练习射击,次成绩分别是:、、、、(单位:环).下列说法中正确的是( )
A. 若这次成绩的中位数为,则 B. 若这次成绩的众数是,则
C. 若这次成绩的方差为,则 D. 若这次成绩的平均成绩是,则
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【题目】为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;
信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
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【题目】若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和,则这个函数称为另两个函数的“生成函数”。现有关于x的两个二次函数y1、y2,且y1=a(x-m)2+4(m>0),y1、y2的“生成函数”为:y=x2+4x+14;当x=m时,y2=15;二次函数y2的图象的顶点坐标为(2,k)。
(1)求m的值;
(2)求二次函数y1、y2的解析式。
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【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
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【题目】如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
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