Question

市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，-瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距离高出2m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求水流的落地点D到A点的距离是多少m？

Answer 1

分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5）及B（0，1.5），设顶点式求解析式；
（2）求AD，实际上是求当y=0时点D横坐标．

解答：解：在如图所建立的直角坐标系中，
由题意知，B点的坐标为（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C点坐标为（2，3.5）
（1）设抛物线的函数解析式为
y=ax²+bx+c（a≠0），
则抛物线过点（0，1.5）顶点为（2，3.5），
∴当x=0时，y=c=1.5
由-

b

2a

=2，得b=-4a，
由

4ac-b2

4a

=3.5，得

6a-16a2

4a

=3.5
解之，得a=0（舍去），a=-

1

2

，
∴b=-4a=2．
所以抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+2x+

3

2

．

（2）∵D点为抛物线y=-

1

2

x²+2x+

3

2

的图象与x轴的交点，
∴当y=0时，即：-

1

2

x²+2x+

3

2

=0，
解得x=2±

7

，
x=2-

7

不合题意，舍去，取x=2+

7

．
∴D点坐标为（2+

7

，0），
∴AD=（2+

7

）（m）．
答：水流的落地点D到A点的距离是（2+

7

）m．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．