Question

1．观察下列等式：
①$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律：化简：$\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{22}}$=$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$；
（2）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$．

Answer 1

分析 （1）分子分母同时乘以（$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$）进行化简；
（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{\sqrt{23}-\sqrt{22}}{（\sqrt{23}+\sqrt{22}）（\sqrt{23}-\sqrt{22}）}$=$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$；
故答案是：$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$；

（2）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$，
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}$-1
=9．

点评 此题的关键是分母有理化，得出规律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$是解题的关键．