Question

已知抛物线的顶点坐标为，且经过点C（1，0），若此抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴的交点为点A，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）求此抛物线的解析式并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出此时Q点运动的速度和此时t的值．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-）²-，代入点（1，0），得：a=；
∴y=（x-）²-．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右图，过点P作PM⊥y轴，垂足为点M，则：
==，得：==
∴AM=t，PM=t
∴P（t，3-t）．

（2）如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
S_△OPQ=OQ•PN=t•（3-t）=t-t²=-（t-）²+
∴当t=时，S_△OPQ最大=．
此时OP为AB边上的中线
∴S_△OBP=S_△AOB=××3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，则 =，
∴=，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，则OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-t）²+（t）²+（3-t）²+（t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
当t=3时，△OPQ为直角三角形．

（4）∵OP²=（3-t）²+（t）²，PQ²=（3-t）²+（t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等边三角形．
设Q点的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
∴kt=2•t，得 k=
∵PN=OP=•t=t
∴3-t=t，得t=．
分析：（1）将抛物线的解析式设为顶点式，再将C点坐标代入该解析式中，即可求得待定系数的值．求解P点坐标时，可过P作y轴的垂线，通过构建的相似三角形求出P点的横、纵坐标．
（2）在（1）中求得P点坐标，以OQ为底、P点纵坐标为高求出关于△OPQ的面积和t的函数关系式，根据所得函数的性质求出△OPQ的面积最大值时，对应的t值；由此能得到AP的长，△OPB和△AOB中，若以BP、AB为底，那么它们的高相同，底的比就是面积的比，由此得解．
（3）此题分两种情况：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一种情况，PQ∥y轴，利用相应的比例线段即可求出t的值；后一种情况可利用勾股定理来进行求解．
（4）若△OPQ为等边三角形，Q点运动速度必须满足OQ等于P点横坐标的2倍（P点在线段OQ的中垂线上），然后根据等边三角形的性质求出对应的t值．
点评：该题的难度较大，综合了二次函数、直角三角形与等边三角形的判定、图形面积的求法等知识．在解答（3）题时，要注意直角三角形的直角并没有确定，要分类进行讨论．