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    2．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC于E，连接CD，过点A作AF∥DE交CD于点F，交BC于点G，连接EF．
    （1）求证：△BED∽△BAC；
    （2）写出所有与△BED相似的三角形（△BAC除外）；
    （3）如图2，若四边形ADEF是菱形，连接对角线AE与DF相交于点O．
    ①求证：OA2=OC•OF；
    ②当AE=12，CF=5时，求OF的长，并直接写出△BED与△BAC的相似比$\frac{DE}{AC}$的值．

    分析 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．
    （2）根据相似三角形的判定方法即可判断．
    （3）①只要证明△OAF∽△OCA，可得$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，由此即可证明．
    ②利用勾股定理求出DE、AC即可解决问题．

    解答 证明：（1）如图1中，

    ∵DE⊥BC，∠BAC=90°
    ∴∠BED=∠BAC=90°，
    ∵∠B=∠B．
    ∴△BED∽△BAC                           
    （2）结论：△BED∽△BGA，△BED∽△AGC．
    理由：∵∠B=∠B，∠DEB=∠AGB=90°，
    ∴△BED∽△BGA．
    ∵∠CAG+∠ACB=90°，∠B+∠ACB=90°，
    ∴∠B=∠CAG，
    ∵∠DEB=∠AGC=90°，
    ∴，△BED∽△AGC．


    （3）①如图2中，

    ∵四边形ADEF是菱形，
    ∴AD=AF，AE⊥DF
    ∴∠1=∠2，∠AOF=90°
    ∴∠2+∠3=90°．
    ∵∠BAC=90°，
    ∴∠1+∠4=90°．
    ∴∠3=∠4．
    ∵∠AOC=∠AOC．
    ∴△OAF∽△OCA．
    ∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，
    ∴OA2=OC•OF．

    ②设OF=x，则OC=x+5．
    ∵四边形ADEF是菱形，AE=12，
    ∴AE⊥CD，OA=$\frac{1}{2}$AE=6，
    由①可知OA2=OC•OF，列方程得：36=x（x+5），
    解得：x1=4，x2=-9（不合题意，舍去）
    ∴OF的长为4．DE=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
    △BED与△BAC的相似比$\frac{DE}{AC}$=$\frac{2}{3}$．

    点评 本题考查相似三角形综合题、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

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    正整数集合：{               …}；
    负分数集合：{                …}．

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