Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，若∠CDB=90°，BD=3，AD=$\sqrt{65}$，则AC长为$\sqrt{58}$．

Answer 1

分析 作AE⊥CD于E，先证明△ACE≌△CBD，得出CE=BD=3，AE=CD，设AE=x，则DE=x-3，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出AE=7，在Rt△ACE中，由勾股定理求出AC即可．

解答 解：作AE⊥CD于E，如图所示：
则∠AEC=∠AED=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠CAE，
在△ACE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDB=90°}&{\;}\\{∠CAE=∠BCD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD=3，AE=CD，
设AE=x，则DE=x-3，
在Rt△ADE中，AE²+DE²=AD²，
即x²+（x-3）²=（$\sqrt{65}$）²，
解得：x=7，或x=-4（舍去），
∴AE=7，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{C{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{58}$；
故答案为：$\sqrt{58}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．