Question

8．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是直径，分别延长AB、CD相交于点E，AC=AE，过点D作DF∥BC于点F．
（1）求证：AC•DF=AD•DE；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若M是$\widehat{AB}$的中点，连接MD交弦AB于点H，若AB：AE=3：5，证明：AH=AF．

Answer 1

分析 （1）利用直径所对的圆周角是直角，和平行线的性质得出∠EFD=∠ADC，进而判断出△ACD∽△DEF即可得出结论；
（2）先判断出点D是CE的中点，进而得出OD是△ACE的中位线，进而判断出∠ODE=∠EFD=90°，即可得出结论；
（3）先判断出△BCE∽△FDE得出BF=EF=4m，得出AF=AE-EF=m，再用勾股定理BC=4m，在判断出，△MOD是等腰直角三角形，再用等腰直角三角形的性质即可得出NH=MN=$\frac{1}{2}$m，结论得证．

解答 解：（1）∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵DF∥BC，
∴∠EFD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵AC=AE，
∴∠ACD=∠E，
∴△ACD∽△DEF，
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{AD}{DF}$，
∴AC•DF=AD•DE；
（2）如图1，连接OD，
∵∠ADC=90°，AC=AE，
∴点D是CE的中点，
∴OD是△ACE的中位线，
∴OD∥AE，
∵∠EFD=90°，
∴∠ODE=∠EFD=90°，
∴DF是⊙O的切线；

（3）如图2，连接OD，OM，交弦AB于N，
∴ON为△ABC的中位线，
∵AB：AE=3：5，
设AB=3m，AE=5m，
∴BE=AB+AE=BE=8m，
由（2）知，D为CE中点，
∴CE=2DE，
∵DF∥BC，
∴△BCE∽△FDE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=EF=4m，
∴AF=AE-EF=m，
∴AE=AC=5m，OA=OM=$\frac{5}{2}$m，
根据勾股定理得，BC=4m，
∵M是$\widehat{AB}$的中点，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=2m，
∴MN=$\frac{1}{2}$m，
由（2）知，BE∥OD，
∴∠BAC=∠AOD，
∵∠BCA=∠MOA，
∴∠MOD=∠MOA+∠AOD=∠BCA+∠BAC=90°，
∴△MOD是等腰直角三角形，
∵△MNH∽△MOD，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN=$\frac{1}{2}$m，
∴AH=AN-NH=m，
∴AH=AF．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，三角形的中位线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是得出，∠EFD=∠ADC，解（2）的关键是得出OD是△ACE的中位线，解（3）的关键是得出BC=4m．